Проект 1Полиномиальная аппроксимация при продолжении аналитической функции с дуги границы

Пусть L – дуга границы некоторой области D комплексной плоскости, пусть в D задано некоторое пространство аналитических, гармонических или обобщенных аналитических функций. Впервые задачу о восстановлении аналитической функции из определенного класса по ее значениям на дуге границы поставил и решил Т. Карлеман в 1920-е годы. Затем в течении всего 20-го века и начала 21-го к подобной проблеме обратились многие математики, назовём, например, Г.М. Голузина, В.И. Крылова, М.М. Лаврентьева, В.А. Фока, Ф.М. Куни, Л.А. Айзенберга, А.М. Кытманова, Т.Ишанкулова, В.П. Хавина, В.А. Барта, И.В. Виденского. Общей особенностью всех этих работ явилось построение семейства функций, как правило, достаточно сложное , функции из которого должны были быть ограниченными внутри области D. При построении использовались значения проверяемой функции на дуге L.

Ни в одном из ранее примененных методов не использовалось поведение полиномов, которые были бы построены для проверки вхождения функции в рассматриваемый класс.

В предполагаемой работе будут рассмотрены области, на границу которых накладываются менее жёсткие ограничения, чем у предшествующих авторов, и в качестве тестирующей последовательности предполагается применить специальные аппроксимирующие полиномы.

1. Carleman T., Les fonctions quasi analytic, Paris, Gauthier-Villar et Cie.,1926.

2. Крылов В.И., Обобщенная функция Carleman’a и приложение её к аналитическому продолжению функций, Мат.сб., 40, №2, 144-149, 1933.

3. Фок В.А., Куни Ф.М., О введении «гасящей» функции в дисперсионные соотношения, ДАН СССР, 127, №6, 1195-1198, 1959.

4. Виденский И.В., Гавурина Е.М., Хавин В.П., Аналоги интерполяционной формулы Карлемана-Голузина-Крылова, «Теория операторов и теория функции», издательство ЛГУ, 21-32, 1983.

5. Айзенберг Л.А., Формула Карлемана в комплексном анализе, Новосибирск, «Наука», 1990.

6. Айзенберг Л.А., Кытманов А.М., О возможности голоморфного продолжения в область функции, заданной на связном куске её границы, Мат.сб., 182, №4, 490-507, 1991.

7. Барт В.А., Хавин В.П., Теоремы Сегё-Колмогорова-Крейна о весовой тригонометрической аппроксимации и формулы карлемановского типа, Укр. Мат.Ж., 46, №1, 100-127, 1994.

8. Ишанкулов Т., О возможности обобщенно-аналитического продолжения в области функций заданных на куске её границы, Сибирский Мат. Ж., 41, №6, 1350-1356, 20009.

9. Videnskii I.,Carleman formula for some spaces of functions analytic in the disc and smooth in its closure, Operator Theory: Advances and Applications, 113, 399-408, 2000.