Проект 3Построение и численный анализ решения задачи рассеяния нескольких одномерных квантовых частиц

Решение задачи рассеяния нескольких квантовых частиц является важной ступенью на пути исследования многих фундаментальных физических процессов и химических реакций, изучения структуры вещества, построения волноводных систем.

При этом, несмотря на то, что решение задачи рассеяния двух квантовых частиц с убывающим на бесконечности потенциалом известно практически со времени основания квантовой механики, то есть с середины 20-х годов XX века, квантовая задача рассеяния уже трех частиц оставалась нерешенной еще долгое время. И этому есть простое объяснение. В случае двух частиц область взаимодействия всегда компактна. Следовательно, мы можем найти аналитически асимптотики решения задачи на больших расстояниях, там, где потенциал становится пренебрежимо малым, а затем - решить соответствующую краевую задачу численно. В случае уже трех частиц область взаимодействия в координатном пространстве перестает быть компактной - она становится бесконечной даже в случае финитных парных потенциалов. Это и есть основная трудность задачи.

Решение задачи рассеяния трех трехмерных квантовых частиц с быстро (быстрее размерности частицы) убывающими парными потенциалами было получено в 1961 году Л.Д.Фаддеевым в рамках так называемого метода уравнений Фаддеева. Отметим, что в случае одномерных частиц методы уравнений Фаддеева не работают по причине специфики размерности. Итерации ядер интегральных уравнений в импульсном представлении не ведут к сглаживанию сингулярностей и, таким образом, не позволяют прибегнуть к альтернативе Фредгольма. Отметим, что именно в одномерной ситуации (три квантовые частицы на оси) постановка задачи технически существенно упрощается, но по существу сохраняет всю многочастичную специфику.

Решение задачи было найдено сравнительно недавно [А.М.Будылин, С.Б.Левин, (2015); И.В.Байбулов, А.М.Будылин, С.Б.Левин, (2017)] в ситуации парных потенциалов отталкивания, то есть в случае, когда спектр операторов Шредингера парных подсистем является абсолютно непрерывным. Решение было основано на альтернирующем методе Шварца, являющимся некоторым вариантом метода уравнений Фаддеева и созданном в середине 90-х годов прошлого века [В.С.Буслаев и А.М.Будылин, (1991, 1995)] в частности для решения задач, связанных с уравнением Кортевега - де Фриза. Основная идея решения связана с выделением и обращением в операторе, отвечающем исходной системе уравнений, некоторого конечномерного оператора, после чего система уравнений становится уже фредгольмовой.

Совсем недавно удалось показать, что при наличии конечного дискретного спектра парных операторов Шредингера (парные потенциалы являются потенциалами притяжения, поддерживающими связанные состояния) схема решения задачи сохраняется [А.М.Будылин, С.Б.Левин, В.О.Торопов, (принята к публикации); В.О.Торопов, магистерская диссертация, (2025)]. В этом случае лишь меняется и становится более богатой структура выделяемого конечномерного оператора.

Цель настоящего проекта заключается в численной реализации найденной схемы решения задачи трех одномерных квантовых частиц.