Проект 4Модели классического и квантового рассеяния и нелинейные уравнения

Проект состоит из двух, связанных друг с другом частей: задачи рассеяния и нелинейные уравнения. Опишем кратко, какие конкретные задачи запланированы. Сначала о задачах рассеяния. Они пронизывают всю нашу жизнь. Да мы просто видим и слышим только благодаря рассеянию электромагнитных или акустических волн. Поэтому и задачи в проекте будут разные.

Часть 1. Модели классического и квантового рассеяния

Начну с того, о чем говорят сейчас все от президентов и министров до дворников – об искусственном интеллекте и нейросетях. А при чем тут рассеяние? Классические алгоритмы машинного обучения уже достаточно хорошо разработаны. В последнее время активно развиваются квантовые технологии из-за новых возможностей, которые они дают и большей защищенности квантовых каналов. Появились и квантовые алгоритмы машинного обучения. Возьмем, например, простейший элемент нейросети - перцептрон.

Он состоит из нескольких слоев: входной слой датчиков, один или несколько ассоциативных слоев, которые устанавливают связи, и выходной слой. В квантовом случае схема такая же, только работает не с классическими, а с квантовыми битами. А теперь представим, что датчики находятся на спутнике, а все остальное на Земле, и сигнал должен проходить через атмосферу, которая вносит искажения. Как это повлияет на работу алгоритма? Это мы и хотим смоделировать.

Квантовые биты можно задавать по-разному, например, с помощью частот фотонов. Тогда надо убирать лишние частоты. С моделью частотного фильтра связана следующая задача проекта. Мы будем использовать эффект шепчущей галереи. Он известен давно и использовался, например, в архитектуре. Дело в том, что если помещение круглое, и ты, стоя у стены, что-то шепотом проговоришь, то звук твоего шепота будет распространяться вдоль стены почти без затухания. В результате, можно подслушать секретные переговоры, находясь достаточно далеко от говорящих. Это связано с возбуждением мод шепчущей галереи, сосредоточенных в окрестности вогнутой границы. А если запустить в шепчущую галерею гауссов пучок (например, луч лазера), то есть решение, сосредоточенное в окрестности луча? С точки зрения математики это асимптотическая задача, только малых параметров два: один у шепчущей галереи, другой – у гауссова пучка. Есть простор для игры параметров и улавливания эффектов. Можно рассматривать и численное моделирование. Возьмем такую схему:

Волна бежит по правому волноводу и заходит в круглый резонатор. Если ее частота высокая, она возбуждает моду шепчущей галереи и, пробежав вдоль стенки полкруга, попадает во второй волновод. А если частота низкая, она просто рассеется и во второй волновод почти ничего не пройдет. Получился частотный фильтр. Это идея, а нужна математическая модель, чтобы понимать, как влияют граничные условия, геометрические параметры, искажение границы, наконец, характер волны: акустическая (скалярная) или электромагнитная (векторная).

В этой задаче многое зависит от граничных условий. А можно ли получить граничные условия, зависящие от частоты? Да, можно, например, составив границу из резонаторов.

Если теперь уменьшать размеры резонаторов, увеличивая, соответственно, их число, то в пределе получится как раз условие, зависящее от частоты. Как следует проводить эту предельную процедуру, чтобы получить требуемое граничное условие? Это и планируется выяснить в проекте.

Резонаторы с малыми отверстиями можно использовать и в других целях. Например, если такую форму имеет микрочастица, то действуя на нее ультразвуком, можно ее двигать. Мы получаем возможность управлять перемещением микрочастиц акустическим полем. Это можно применять, например, для адресной доставки лекарств в организме.

Теперь опишем часть проекта, связанную с нелинейными уравнениями:

Часть 2. Сравнительный анализ спектральных данных интегрируемых нелинейных уравнений

Конец XIX – начало XX – это время линейных дифференциальных уравнений. С середины XX века начали активно исследоваться нелинейные динамические системы. Большинство нелинейных явлений можно разделить на две группы: слабые и сильные нелинейные явления. Системы со слабой нелинейностью достаточно хорошо исследованы. Для них существуют аналитические методы, на основе которых разработаны эффективные алгоритмы для решения прикладных задач. Слабые нелинейные явления обычно моделируются в рамках теории возмущений линейных динамических систем. Динамические системы, обладающие сильной нелинейностью, как правило, делятся на две группы: модели динамического хаоса и интегрируемые нелинейные модели.

Интегрируемыми моделями описываются такие явления, у которых начальное условие полностью определяет ее дальнейшую траекторию. Ключевая особенность интегрируемых нелинейных моделей – это наличие решений в виде уединенных волн (солитоны, кинки и т.д.).

Как правило, интегрируемые динамические системы описываются дифференциальными или дифференциально-разностными уравнениями, которые могут быть получены как условия совместности из двух линейных уравнений – пары Лакса. Термин «пара Лакса» указывает на наличие двух линейных дифференциальных или дифференциально-разностных уравнений. Первые пары Лакса были скалярными. В настоящее время большинство пар Лакса являются матричными.

Одной из характерных черт интегрируемых уравнений является возможность рассмотрения нескольких вариантов второго уравнения пары Лакса. Как правило, каждому классическому интегрируемому уравнению соответствует последовательность пар Лакса, условия совместности которых дают иерархию интегрируемых нелинейных уравнений.

Ключевая особенность интегрируемых нелинейных уравнений, являющихся условиями совместности пары Лакса, заключается в том, что решения их полностью определяются спектральными данными первого оператора пары Лакса. С помощью второго оператора пары Лакса лишь находится эволюция спектральных данных, т.е. решения уравнений из одной и той же иерархии отличаются только формулами эволюции их спектральных данных.

Таким образом, решение задач Коши для интегрируемых нелинейных уравнений методом прямой и обратной спектральной задачи заключается в выполнении следующих этапов:

1) Нахождение спектральных данных по начальным данным решения;

2) Построение формул эволюции спектральных данных;

3) Восстановление решения по спектральным данным.

В случае, когда у первого оператора пары Лакса конечнозонный матричный потенциал, можно использовать метод матрицы монодромии M, которая, если потенциал конечнозонный, является многочленом по спектральному параметру . В этом случае спектральными данными является спектральная кривая, уравнение которой является характеристическим уравнением матрицы монодромии M.

Цель работы – установить соответствия между коэффициентами уравнения спектральной кривой и данными прямой и обратной спектральной задачи в случае векторных интегрируемых нелинейных уравнений. Для векторных уравнений эта задача является достаточно нетривиальной из-за негиперэллиптичности спектральных кривых. Наличие соответствия позволит упростить процедуру решения задачи Коши для векторных интегрируемых нелинейных уравнений в случае периодических начальных данных, производя одну часть вычислений одним способом, а другую часть – другим.